2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
1.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解;
2.在平面直角坐标系中，能写出一个平面向量的坐标；
（重点）
3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
4.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.(重点）
平面向量基本定理的内容是什么？
画一画，算一算
思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量 进行分
解比较简单？
思考：1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
A
(a,b)
a
b
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可
以分解为不共线的两个向量 和 ，使
如图，在光滑斜面上有一个
木块受到重力 的作用，产生两
个效果，一是木块受平行于斜面
力 的作用，沿斜面下滑；一是
木块产生垂直于斜面的压力
叫做把重力 分解.
思考：如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),
D(5,7).设 ，填空：
（1）
（2）若用 来表示 ，则：
1
1
5
平面向量的坐标表示
（3）向量 能否由 表示出来？
可以的话，如何表示？
①
这样，平面内的任一向量 都可
由x、y唯一确定，我们把有序数对
（x,y）叫做向量 的坐标，记作
显然，
O
x
y
A
在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ，则点
A的位置由向量 唯一确定.
设 ，则向量 的坐标（x,y）就是终点A的
坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量 的坐标.
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个
有序实数对唯一表示.
A
A1
A2
解：如图可知
同理
平面向量的坐标运算
由向量线性运算的结合律和分配律可得
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标.
即
同理可得
例2.如图，已知 ，求 的坐标.
x
y
O
B(x2,y2)
A(x1,y1)
解：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
小结：平面向量的坐标运算
例3.已知 ，求 的坐标.
例4.如图，已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
A
B
C
D
x
y
O
解法１：设顶点D的坐标为（x,y）.
解得
所以顶点D的坐标为（2，2）.
-2 -1
1 2 3
4
3
2
1
A
B
C
D
x
y
O
解法2：由平行四边形法则可得
而
所以顶点D的坐标为（2，2）.
-2 -1
1 2 3
4
3
2
1
答案：
1.写出下列向量的坐标,其中 是与x轴、y轴方向相同的单位向量.
2.如图，用基底 分别表示向量 ，并求出它们的坐标.
,则点B的坐标为_________.
（5，4）
3.已知A(3,1), ，若向量 ,
O为坐标原点，则x=________,y=_________.
-4
5
5.已知：点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)若 ，试求λ为何值时,
（1）点P在一、三象限角平分线上?
（2）点P在第三象限内?
（1）若点P在一、三象限角平分线上,则 5+5λ=4+7λ，
（2）若点P在第三象限内，
∴λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
一、知识技能
2.平面向量的坐标运算
二、思想方法
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想.
1.平面向量的坐标表示
要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。
——兰斯顿•休斯